1  Datenstrukturen


Einleitung

Zur Beantwortung biologischer Fragen werden in der Regel an Pflanzen, Tieren, Mikroorganismen oder biochemischen Strukturen Experimente und Beobachtungen durchgeführt. So könnte man z. B. Interesse haben an der Frage nach dem Proteingehalt des Blutes von adulten Mäusen des Stammes C57bl. 'Alle' adulten Mäuse dieses Stammes würde man dann als Grundgesamtheit für die Frage und die untersuchten Tiere als eine Stichprobe der Grundgesamtheit bezeichnen. Um aus der durch den Stichprobenumfang begrenzten Datenmenge (Untersuchungs- ergebnisse) die optimalen Schlüsse für die Grundgesamtheit ziehen zu können, müssen die Daten statistisch aufbereitet werden.

Die gewonnenen Daten können abhängig von der Fragestellung sehr unterschiedlicher Struktur sein. Es ist leicht einzusehen, dass bei der Bearbeitung so verschiedener Daten wie der Masse eines geernteten Mais-Saatguts (Meßwert), der Farbe der Rückenflosse eines Fisches (verbale Beschreibung) oder der Anzahl der auf einer Agarplatte gewachsenen Bakterienkolonien (Zählwert) unter-schiedliche statistische Verfahren zur Anwendung kommen.

Bei der Auswahl der adäquaten Verfahren sind Kenntnisse der verschiedenen Datenstrukturen notwendig. Solche darzustellen ist die Aufgabe dieses Textes, wobei folgende Begriffe gegeneinander abgegrenzt und erklärt werden sollen:
  • Grundgesamtheit
  • statistische Masse
  • Kollektiv
  • Stichprobe
  • Element des Kollektivs
  • Merkmalsträger
  • Merkmal
  • Variable
  • Merkmalsausprägung
  • quantitative Daten
  • qualitative Daten
  • Nominaldaten
  • Ordinaldaten
  • Rangdaten
  • Kategorialdaten
  • Scores
  • diskrete Daten
  • stetige Daten
  • quasi-stetige Daten
  • gekörnte Daten
  • Proportionaldaten
  • Intervalldaten
  • Quantifizieren von Daten
  • Qualifizieren von Daten

 B e i s p i e l   1

In einem Zusammenhang, der hier ohne Bedeutung ist, besteht Interesse an morphologischen und physiologischen Eigenschaften adulter Meerschweinchen eines bestimmten Stammes. So könnte etwa gefragt werden nach Fellstruktur, Fellfarbe, Körperlänge, Organmassen und Blutzellzahlen.

Alle Meerschweinchen dieses Stammes bezeichnet man als Grundgesamtheit, statistische Masse oder Kollektiv. Wir entnahmen dieser Grundgesamtheit eine Stichprobe von 20 Tiern, aus der wir Tier Nr. 4 für die Untersuchung auswählen. Das untersuchte Tier ist ein Element der Stichprobe und damit auch eines der Grundgesamtheit. Das Tier hat bestimmte Eigenschaften oder Merkmale (X), deren Ausprägungen (x) von Tier zu Tier variieren können. Die Merkmale werden daher auch als Variable bezeichnet und das Tier als Merkmalsträger.

Bei der Untersuchung eines Tieres wurden folgende Daten als Merkmalsaus-prägungen gewonnen:

Kollektiv: Meerschweinchen, Element: Tier Nr. 4

Merkmal (X) Merkmalsausprägung (x) Datenstruktur
Fellstruktur glatthaarig qualitativ, nominal
Geschlecht weiblich qualitativ, nominal
Fellfarbe braun qualitativ, nominal
Länge 21 cm quantitativ, stetig, quasi-stetig, gekörnt
Masse 1220 g quantitativ, stetig, quasi-stetig, gekörnt
Motilität vermindert qualitativ, ordinal
Pulsfrequenz 251 min–1 quantitativ, diskret
Hb-Konzentration im Blut 15,5 g / 100 mL quantitativ, stetig, quasi-stetig, gekörnt
Anzahl der Erythrozyten 5,7 . 106 / mL quantitativ, diskret
Masse der Leber 31,2 g quantitativ, stetig, quasi-stetig, gekörnt
Gesundheitszustand gesund qualitativ, ordinal
Körpertemperatur 37,8 OC quantitativ, stetig, quasi-stetig, gekörnt


1  Datenstrukturen

Wenn, wie bei Experimenten üblich, eine Stichprobe von Merkmalsträgern untersucht wird, dann kann es zweckmäßig sein, die Merkmalsausprägungen zu Vergleichszwecken an Skalen graphisch darzustellen. Es ist unmittelbar einleuchtend, dass man die Fellfarben verschiedener Tiere und deren Körpertemperaturen nicht an einem Skalentyp darstellen kann (vgl. Abb. 1 und Abb. 2).

Abbildung 1

Abbildung 2

Man benötigt unterschiedliche Skalentypen und spricht von unterschiedlich skalierten Daten. Es sollen nun Daten, die primär [siehe scoring] verbal beschrieben werden (z. B. Gesundheitszustand), von solchen, die durch Zahlen dargestellt werden (z. B. Körpertemperatur) gegeneinander abgegrenzt und jeweils differenziert dargestellt werden.

1.1  Qualitative Daten

Die Ausprägung der Merkmale Geschlecht, Fellfarbe, Gesundheitszustand und Motilität des Meerschweinchens seien "weiblich", "braun", "leicht erkrankt", "stark vermindert". Da die Daten nicht durch Zahlen sondern durch Worte dargestellt werden, nennt man sie qualitative Daten, sie kennzeichnen ein qualitatives Merkmal und werden durch Vergleiche gewonnen. Im Vergleich mit einer Farbskala stellt man fest, dass das Fell des Tieres braun ist. Man vergleicht den Zustand erkrankter Tiere mit dem bekannten Bild gesunder Tiere.

1.1.1  Nominaldaten

Je nachdem, ob man den Daten eine Wertung zusprechen kann oder nicht, differenziert man qualitative Daten in Ordinaldaten und Nominaldaten.

Die Merkmalsausprägungen wie Fellfarbe und Geschlecht sind wertfrei. Sie können nicht in eine Rangfolge gebracht werden. Ein schwarzes Fell hat keinen höheren Wert als ein braunes und die Qualität "weiblich" ist nicht mehr wert als die Qualität "männlich". Derartige Merkmalsausprägungen werden an einer Nominalskala dargestellt. Auf dieser sind die Abstände zwischen zwei Marken der Ordinate zwar in der Regel metrisch gleich, haben aber keine quantitative Bedeutung. Ihre Reihenfolge ist beliebig (vgl. Abb. 3 und Abb. 4). Wir nennen sie Nominaldaten oder nominalskalierte Daten, sie werden durch Vergleich gewonnen. Rechnen können wir mit ihnen zunächst nicht.


Abbildung 3

Abbildung 4

1.1.2  Ordinaldaten, Rangdaten, Kategorialdaten

Anders sieht es bei den Ausprägungen des Gesundheitszustandes oder der Motilität aus. Auch hier werden die Ausprägungen mit Worten beschrieben. Beim Gesundheitszustand kann man bei den Merkmalsausprägungen wählen zwischen z. B. "gesund", "leicht erkrankt", "schwer erkrankt", "agonale Phase". Wo die Grenzen liegen, steht hier nicht zur Debatte; aber sicher stellen die Ausprägungen eine Rangfolge dar. Das gleiche gilt für die Schätzung der Motilitätsstärke, man kann sie "normal", "leicht vermindert", "stark vermindert", "leicht erhöht" oder "stark erhöht" bezeichnen. Daten dieser Art werden an einer Rang- oder Ordinalskala dargestellt, denn man kann sie in eine Rangfolge oder Ordinalfolge bringen oder sie bestimmten Kategorien zuordnen. Man nennt sie rang- oder ordinalskalierte Daten oder Kategorialdaten. An einer solchen Skala sind die Abstände zwischen den Marken nicht gleichwertig, wenn auch die Abstände metrisch gleich sind, sie stellen jedoch eine Rangabstufung dar. Obwohl auf der Skala "schwer erkrankt" doppelt so weit von "gesund" entfernt ist wie "leicht erkrankt" kann man nicht sagen, "gesund" ist doppelt soviel wert wie "schwer erkrankt". Auch Ordinaldaten werden durch Vergleich gewonnen und man kann zunächst nicht mit ihnen rechnen (Abb. 5).

Abbildung 5
1.1.2.1  Scoring (Punkte vergeben)
Um Ordinaldaten in gewisser Weise Rechenoperationen zugänglich zu machen, kann man sie einem Scoring unterziehen.

Hierunter versteht man die Zuordnung von Ordinaldaten zu Ziffern, die eine Wertung darstellen. Um beim Beispiel des Gesundheitszustands zu bleiben: Man kann die Merkmalsausprägungen in der folgenden Weise Zahlen (scores) zuordnen:

Ordinaldaten score
gesund 0
leicht erkrankt 1
schwer erkrankt 2
agonale Phase 3

Abbildung 6

Die Abstände der Punkte (scores) auf der Skala der Abb. 6 haben keine quantitative Bedeutung. Bedeutsam ist nur die Rangfolge der Punkte. Der Vorteil dieses scoring liegt darin, daß man mit den scores Rechenoperationen durchführen kann.

1.2  Quantitative Daten

Das Gemeinsame der folgenden Daten des Meerschweinchens ist, dass sie Zahlen darstellen. Es sind somit quantitative Daten, die an quantitativen Skalen dargestellt werden.

Masse der Leber 31,2 g
Körperlänge 21 cm
Körpermasse 1220 g
Körpertemperatur 37,8 OC
Anzahl der Erythrozyten 5,7 . 106 / mL
Pulsfrequenz 251 min–1


1.2.1  Diskrete Daten

Diese Daten unterscheiden sich aber dadurch, dass die einen durch einen Messvogang (stetige Daten, z.B. Körpermasse) gefunden wurden, die anderen durch einen Zählvorgang (diskrete Daten, z.B. Erythrozytenzahl).

Die Erys/µL und die Häufigkeit der Herzschläge pro Minute werden durch einen Zählvorgang ermittelt. Zählwerte können prinzipiell nur ganzzahlig sein. Sie werden an einer diskreten, diskontinuierlichen Skala dargestellt, die nur ganze Zahlen trägt (Abb. 7). Halbe Erythrozyten und halbe Herzschläge gibt es nicht.

Abbildung 7

1.2.2  Stetige Daten

Die Masse der Leber 31,2 g; Körperlänge 21 cm; Körpermasse 1220 g; Körpertemperatur 37,8 °C; Hb-Konzentration im Blut 15,5 g/100 mL werden durch Meßvorgänge ermittelt. Meßwerte sind grundsätzlich kontinuierlich, das bedeutet, sie können jeden beliebigen Wert zwischen zwei ganzen Zahlen inclusive dieser annehmen. Die Anzahl der Nachkommastellen ist nur durch das Messverfahren begrenzt. Sie werden an einer stetigen oder kontinuierlichen Skala dargestellt (Abb. 8).

Abbildung 8
1.2.2.1  Gekörnte Daten, quasi-stetige Daten
Stetige Daten gibt es nicht wirklich, da die Messgeräte, mit denen sie gewonnen werden, immer eine endliche Stellenzahl vorgeben. Es gibt vermutlich kein Messgerät, mit dem man bestimmen könnte, dass ein Tier 36,6500753345 g wiegt. Viele Körperwaagen zeigen die Masse nur in kg mit einer Nachkommastelle an. Die Wägung eines Hundes könnte 14,7 kg oder 14,8 kg ergeben. Werte dazwischen werden nicht angezeigt. Das bedeutet, dass (vom Prinzip her) stetige Daten durch das Messgerät diskret geworden sind. Man nennt sie quasi-stetige Daten oder gekörnte Daten. Mit einer Uhr, deren Zeiger in Minutenabständen springt, kann man nur ganze Minuten messen. Zeitmeßwerte sind gekörnte Daten.


1.2.2.2  Proportionaldaten und Intervalldaten
Wenn man die Körpertemperatur von 36,9 °C und die Körperlänge von 21 cm vergleicht, dann stellt man fest, dass ihre Skalen sich bezüglich des Nullpunktes unterscheiden.

Stetige Daten kann man wiederum zwei Gruppen zuordnen, je nachdem ob die Skala, an der man sie darstellen kann, einen absoluten Nullpunkt hat oder nicht. Zur Verdeutlichung des Unterschiedes betrachte man die Körpermasse zweier adulter Mäuse und die Wassertemperaturen zweier Aquarien. Tier Nr.1 wiegt 40 g und Tier Nr.2 wiegt 20 g. In Aquarium Nr.1 mißt man 20 °C und in Nr. 2 mißt man 10 °C (Abb. 9 und Abb. 10).

Abbildung 9

Abbildung 10

Tier 1 ist zweifelsfrei doppelt so schwer wie Tier 2. Die Temperatur im Aquarium 1 ist aber nicht doppelt so hoch wie in Aquarium 2. Der Grund: Die Celsiusskala hat keinen absoluten Nullpunkt, er ist willkürlich festgelegt. Solche Skalen, nennt man Intervallskalen. Die Massenskala der Waage dagegen hat einen absoluten Nullpunkt. Ebenso die Skala, an der man z.B. die Stoffmengenkonzentration von Hämoglobin im Blut eintragen kann. Diese Skalen nennt man Proportionalskalen oder Verhältnisskalen.

Wenn man Intervalldaten an einer Proportionalskala darstellen will, dann muss man sie, wenn es möglich ist, in ein System transformieren, welches einen absoluten Nullpunkt hat. Bei der Temperatur wäre das leicht möglich, wenn man die Kelvinskala zugrunde legt. 20 °C entsprechen 293 K und 10 °C entsprechen 283 K. In Abbildung 11 sieht man deutlich, dass von einer Verdopplung der Temperatur keine Rede sein kann.

Abbildung 11

Ein Beispiel für intervallskalierte Daten sind auch die Kalenderdaten, deren Nullpunkte in verschiedenen Kulturkreisen unterschiedlich festgelegt wurden.

Wozu die Kenntnis diverser Datenstrukturen notwendig ist, zeigt das folgende Beispiel.

Bei der Prüfung der Wirkung eines Medikaments zur Steigerung der Hämoglobinkonzentration im Blut erhält man Messwerte (stetige Daten). Ein statistischer Test zur Prüfung der Wirkung des Medikaments im Vergleich mit einem anderen Medikament wäre z. B. der t-Test. Dieser darf nur auf stetige Daten angewendet werden, nicht aber auf Zählwerte. Wir müssen bei der Auswahl eines Tests also die Datenstruktur richtig einschätzen können.


1.3  Quantifizieren qualitativer Daten

Statistische Methoden können nur Zahlen bearbeiten. Qualitative Daten sind aber keine Zahlen. Um solche Daten für Rechenoperationen verwendbar zu machen, kann man sie in geeigneter Weise in Zahlen transformieren. Der Vorgang dieses Quantifizieren von Nominal- und Ordinaldaten besteht im Auszählen der mit den jeweiligen Merkmalsausprägungen besetzten Merkmalsträger (siehe Scoring).


B e i s p i e l

Bei der Untersuchung einer Gruppe von 17 mit Trypanosomen infizierten Mäusen, die mit einem Medikament behandelt wurden, erhielt man nach der Therapie das folgende für jedes Tier qualitative Ergebnis:

Maus 1 geheilt Maus 2 geheilt
Maus 3 geheilt Maus 4 nicht geheilt
Maus 5 nicht geheilt Maus 6 geheilt
Maus 7 geheilt Maus 8 geheilt
Maus 9 geheilt Maus 10 geheilt
Maus 11 nicht geheilt Maus 12 geheilt
Maus 13 nicht geheilt Maus 14 geheilt
Maus 15 nicht geheilt Maus 16 geheilt
Maus 17 geheilt

Nun kann man durch Zählen der geheilten und nicht heheilten Tiere die für die einzelnen Tiere qualitativen Merkmalsausprägungen für die Gruppe quantifizieren:

geheilt 12-mal (das sind 71 %)
nicht geheilt   5-mal (das sind 29 %)

Hätte man eine zweite Gruppe von 19 Mäusen mit einem anderen Medikament behandelt und das Ergebnis wäre 16 geheilt (84 %) und 3 nicht geheilt (16 %), dann könnte man jetzt fragen, ob die höhere Heilquote des zweiten Medikaments "wirklich" für bessere Heilchancen spricht als das erste Medikament, oder ob der Unterschied (71 % im Vergleich zu 84 %) durch den Zufall zu erklären ist. Dies kann anhand der nun vorliegenden quantitativen Daten mit einen Signifikanztest, z. B. dem Chi²-Test geprüft werden.


1.4  Qualifizieren quantitativer Daten

Bei manchen Fragen erscheint es sinnvoll, quantitative Daten, z. B. die Massen von Merkmalsträgern, zu qualifizieren.

B e i s p i e l
Es liegen folgende Meßwerte der Massen von Meerschweinchen in g vor:

x1 x2 x3 x4 x5 x6
1240 1320 1190 1590 925 1071 quantitative Daten

Für einen geplanten Versuch können nur Meerschweinchen mit der Masse x mit 1110 g £ x £ 1500 g verwendet werden. Wir können entsprechend notieren (- bedeutet zu leicht, + bedeutet zu schwer, 0 bedeutet verwendbar).

x1 x2 x3 x4 x5 x6
1240 1320 1190 1590 925 1071 quantitative Daten
0 0 0 + - - qualitative Daten

Es wurde qualifiziert und die nicht verwendbaren Tiere (- und +) kann man nun leicht aussortieren. Die Qualifikation quantitativer Daten ist immer mit einem Informationsverlust verbunden und sollte daher nicht ohne Not betrieben werden. x5 und x6 haben zwar den gleichen qualitativen Wert (-), aber unterschiedliche quantitative Werte (925 und 1017).

Datenstrukturen
Übung 1
Geben Sie zu den Punkten a bis g an, welche Datenstruktur vorliegt und an welchen Skalen sie dargestellt werden können. Begründen Sie Ihre Entscheidung.

  1. Fellfarbe bei der Kreuzung von Mäusen
  2. Extinktion bei einer photometrischen Bestimmung
  3. Nachweis ob Chloridionen im Wasser sind oder nicht.
  4. Gesundheitszustand von Meerschweinchen mit pilzinfizierter Haut
  5. Rectaltemperatur in °C von Ratten in Langzeitnarkose
  6. Gastemperatur in K in einem Eudiometer.
  7. Suchen Sie Beispiele für die Qualifizierung quantitativer Daten
L ö s u n g e n   f ü r   Ü b u n g   1

a) Qualitative Daten - Nominaldaten - Nominalskala
weil: Fellfarbe ist wertfrei.

b) Quantitative Daten - stetige Daten - stetige Skala
weil: Extinktionen sind Messwerte, damit im Prinzip stetig, aber durch das Messgerät gekörnt. Die Skala hat einen natürlichen Nullpunkt, also Proportionalskala.

c) Qualitative Daten - Ordinaldaten - Ordinalskala
weil: Das Ergebnis der Untersuchung ist "ja" oder "nein". Ob das als Nominal- oder Ordinaldatum zu werten ist, hängt davon ab, welche Bedeutung das Ergebnis für die Untersuchung hat. Will man nur wissen ob "ja" oder "nein", dann sind es Nominaldaten, Ist der positive Ausfall unerwünscht, dann kann man das Ergebnis als Ordinaldatum werten.

d) Qualitative Daten - Ordinaldaten - Ordinatskala
weil: Die möglichen Merkmalsausprägungen sind wertbehaftet.

e) Quantitative Daten - stetige Daten - stetige Skala - Intervallskala
weil: Temperaturen sind Messwerte, daher stetig aber durch das Messgerät gekörnt. Die Skala hat einen willkürlichen Nullpunkt, daher lntervallskala.

f) Quantitative Daten - stetige Daten - stetige Skala - Proportionalskala
weil: Temperaturen sind Messwerte, daher stetig aber durch das Messgerät gekörnt. Die Skala hat einen natürlichen Nullpunkt, daher Proportionaiskala.

g) Ich habe von gestern auf heute 500 g zugenommen und werde nach meiner Gewichtsänderung gefragt. Ich kann sagen "500 g" (quantitative Angabe) ich kann aber auch sagen "ein wenig zugenommen". Das wäre dann qualifiziert.


Übung 2
Geben Sie zu den Punkten a bis g an, welche Datenstruktur vorliegt und an welchen Skalen sie dargestellt werden können. Begründen Sie Ihre Entscheidung.

a) Bei einer Gelelektrophorese wurden die Laufstrecken von DNA-Fragmenten gemessen. Welche Datenforrn liegt vor?
Lösung: Die Laufstrecken werden in mm gemessen, quasi-stetige Daten, kontinuierliche Skala.

b) Bei der Prüfung der Wirksamkeit eines Herbizids wird dieses in verschiedenen Dosen an Kressepflanzen geprüft. Man wertet die Länge der Pflanzen aus. In welcher Datenform liegen die Ergebnisse vor?
Lösung: Die Längen der Pflanzen werden in mm gemessen, quasi-stetige Daten, kontinuierliche Skala.

c) An Mäusen wird ein Präparat geprüft, welches einen unsicheren Gang (Ataxie) hervorruft. Welcher Art könnten die Daten sein, die man bei der vergleichenden Untersuchung verschiedener Dosen erhält?
Lösung: Man wird Befunde wie "nicht auffällig", "schwach gestört", "stark gestört", "keine Laufbewegung" notieren. Das sind Ordinaldaten, die durch Scoring in rechenbare Zahlen transformiert werden.

d) In Bakterien wurde eine Plasmid eingeführt, welches im positiven Ausfall zu einer roten Koloniefärbung führte. Welche Datenstruktur stellt das Ergebnis der Auszählung der roten und nichtroten Kolonien dar?
Lösung: Es gibt die Kategorien "rot" und "nicht rot". Das sind Nominaldaten, deren Häufigkeiten ausgezählt werden können.

e) Im Venenblut wird im Zusammenhang mit einer Lebererkrankung die Aktivität einer Transaminase bestimmt. In welcher Datenform liegt das zu bewertende Ergebnis vor?
Lösung: Es werden U/L gemessen. Das sind quasi-stetige Messwerte, die an einer kontinuierlichen Proportionalskala (natürlicher Nullpunk) aufgetragen werden.

f) Suchen Sie ein Beispiel für die Quantifizierung qualitativer Daten.
Lösung: Bei der Beurteilung des Wachstums von Pflanzen, die unterschiedlich gedüngt wurden, kann man die Bewertung z. B. durch Formulierungen wie "Keine Änderung zur Kontrolle", "schwache Wachstumsverstärkung", "starke Wachstums-verstärkung" vornehmen. Das sind Ordinaldaten, da ihnen eine Wertung zukommt. Sie können über Scoring quantifiziert werden.

g) Bei der Untersuchung der Atmungsaktivität von Bakterien werden Gasvolumina an einem Warburg-Manometer ermittelt. Welche Datenform liegt hier vor?
Lösung: Es handelt sich um quasi-stetige Messwerte, die an einer kontinuierlichen Proportionalskala (natürlicher Nullpunkt) dargestellt werden können.