8  Prüfung auf Normalverteilung

(Die folgenden Kapitel enthalten Passagen aus: F.Keller, Statistik für naturwissen­schaftliche Berufe, 4. Auflage 1993, pmi-Verlag, Frankfurt am Main)


8.1  Warum Prüfung auf Normalverteilung?

Eine häufige Aufgabe bei naturwissenschaftlichen Untersuchungen besteht in der Feststellung, ob sich zwei (oder mehr) Datengruppen mehr als es durch den Einfluß des Zufalls zu erwarten wäre unterscheiden. Bei einem Analgesietest reagierten die Mäuse der Kontrollgruppe auf einen Schmerzreiz nach durchschnittlich 18,7 s. Die mit einem Präparat behandelten Tiere zeigen 1 Stunde nach Applikation eine mittlere Reaktionszeit von 38,6 s. Das weist auf eine analgetische Wirkung hin, da die behandelten Tiere den Schmerzreiz länger tolerierten als die der Kontrollgruppe. Die Zeitdifferenz ist aber kein Beweis für eine Wirkung des Präparates, denn bei zwei Stichproben können wir durchaus zufallsbedingt unterschiedliche Mittelwerte erwarten. Die Frage ist nun, ob die Zeitdifferenz zufällig oder auf die Präparatewirkung zurückzuführen ist. Ist die Differenz klein, dann schreiben wir das eher dem Zufall zu. Ist sie dagegen groß, dann neigen wir eher zu der Annahme, sie sei nicht durch den Zufall zu erklären, sondern beruhe auf der Wirkung des Präparates. Wo ist aber die Grenze zwischen einer großen Differenz und einer kleinen? Zur Beantwortung dieser Frage stellen wir folgende Hypothese auf: „Die Differenz ist zufällig. Das Präparat hat keine analgetische Wirkung“. Zur Prüfung der Hypothese können wir die Daten dem so genannten t-Test unterziehen. Dieser Test setzt aber voraus, dass die zu untersuchenden Daten normalverteilt sind, zumindest approximiert. Vor Anwendung des Tests müssen wir daher prüfen, ob diese Voraussetzung gegeben ist. Es gibt also einen guten Grund, sich mit der Prüfung auf Normalverteilung zu beschäftigen. [Genaueres zum Thema Hypothesenprüfung und t-Test folgt in späteren Kapiteln.]


8.2  Prüfung auf Normalverteilung

Hierzu gibt es verschiedene Verfahren. Wir wollen ein graphisches Schätz­verfahren kennen lernen, mit dem wir relativ schnell und einfach prüfen können, ob empirische Datensätze approximiert normalverteilt sind. Dazu werden für die zu prüfenden Daten die Summenprozenthäufigkeiten berechnet und gegen die oberen Klassengrenzen in ein spezielles Koordinatensystem (Wahrscheinlichkeitsskala oder Probitskala auf der Abszisse) eingetragen. Zeigt die Punktfolge eine Tendenz zur Linearität, lässt sich ihr also eine Gerade anpassen, die möglichst nahe an allen Punkten liegt, dann können wir davon ausgehen, dass die Daten zumindest approximiert normalverteilt sind. Dies gilt um so eher, je besser die Anpassung ist.

Vor der eigentliche Prüfung (Punkt 8.6 und 8.7) müssen wir mit den folgenden Schritten einige Vorarbeiten leisten, die zum Verständnis des Verfahrens beitragen. Dazu werden wir die Daten von Beispiel 1 so transformieren, dass aus der Glockenkurve eine sigmoide Kurve (Ogive) wird und aus dieser zwei Geraden entstehen. Mit einer dieser beiden Geraden können wir dann die eigentliche Schätzung durchführen. Der Begriff sigmoid ist abgeleitet von dem kleinen griechischen Buchstaben sigma (s) , welcher am Wortende ähnlich dem kleinen lateinischen s geschrieben wird.

Abb. 1 bis 4

Beispiel 1

Im mikroskopischen Praktikum wurden die Durchmesser von 369 Exemplaren des marinen Dinoflagellaten Noctiluca miliaris in µm bestimmt [Inkrement 1 µm]. Der range betrug 200 µm bis 640 µm. Die Daten wurden zur weiteren Bearbeitung mit einer Klassenbreite von 20 µm gruppiert. Die Ergebnisse finden Sie in den Spalten 1 bis 3 der Tabelle 1, = 460,6 µm, sx = 73,4 µm. Frage: Sind die Durchmesser normalverteilt? Die Antwort könnte dann von Bedeutung sein, wenn wir z. B. die Durchmesser einer anderen Population von Noctiluca m. mit den Werten unserer Population vergleichen möchten.

Tabelle 1

1 2 3 4 1 2 3 4
Klasse Klassen-
mitte		 absolute
Häufigkeit H		 relative
Häufigkeit h (%H)		 Klasse Klassen-
mitte		 absolute
Häufigkeit H		 relative
Häufigkeit h (%H)
1 200 1 0,271 14 460 46 12,470
2 220 1 0,271 15 480 39 10,570
3 240 2 0,542 16 500 37 10,030
4 260 0 0,000 17 520 29 7,860
5 280 4 1,084 18 540 21 5,690
6 300 3 0,813 19 560 14 3,790
7 320 5 1,350 20 580 11 2,980
8 340 10 2,710 21 600 7 1,900
9 360 11 2,980 22 620 5 1,360
10 380 18 4,880 23 640 2 0,542
11 400 23 6,230 24 660 0 0
12 420 37 10,030 25 680 0 0
13 440 43 11,650 26 700 0 0


Schritt 1


8.3  Erstellung der Glockenkurve
(absolute Häufigkeiten gegen die Klassenmitten)

Wir berechnen mit = 460,6 µm, sx = 73,4 µm die Wahrscheinlichkeitsdichte für die Daten. Die große Stichprobe gestattet uns, an Stelle der Parameter µ und deren Schätzwerte einzusetzen. So entsteht die berechnete Häufigkeits­verteilungskurve (Abb.5, grün), in die wir die absoluten Häufigkeiten (orange) eingezeichnet haben.

Abb. 5

Die linke Ordinate trägt die absolute Häufigkeit und die rechte Ordinate die f(x)-Werte. Da die Punkteschar der alsoluten Häufigkeiten der Form der Glockenkurve recht gut folgt, ist dies schon ein erster Hinweis auf normalverteilte Daten. Da es aber einfacher ist, einer Punktfolge mit linearer Tendenz eine Gerade anzupassen, fahren wir fort auf dem Wege zu eben dieser Geraden.


8.4  Erstellung der Glockenkurve
(relative Häufigkeiten gegen die Klassenmitten)

Unser Ziel ist es, die Daten so zu bearbeiten, dass eine Punktfolge mit linearer Tendenz resultiert. Im ersten Schritt zu dieser Transformation der Daten werden aus den absoluten Häufigkeiten die relativen (prozentualen) Häufigkeiten berechnet.

In Spalte 4 der Tabelle 1 sind die nach

TB S3

für jede Klassenmitte berechneten relativen Häufigkeiten h rot eingetragen.

Wenn wir die relativen Häufigkeiten gegen die Klassenmitten graphisch darstellen, dann resultiert die gleiche Verteilungskurve wie die grüne Kurve in Abb. 5, nur dass die Ordinate in Abb. 6 nun die relativen statt die absoluten Häufigkeiten trägt. Wir benötigen die relativen Häufigkeiten für die Berechnungen der Summenprozent­häufigkeiten in Anschnitt 8.5.

Abb. 6

Die relative Häufigkeit beim Vergleich von Datengruppen
Wenn zum Vergleich mehrerer Datengruppen die absoluten Häufigkeiten gegenüber gestellt werden, dann erschweren die unterschiedlichen Ordinaten­teilungen die Vergleichbarkeit. Günstiger ist die Gegenüberstellung der relativen Häufigkeitskurven, da hier bei allen Gruppen die Ordinaten gleich sind.

Bei Prozenthäufigkeiten immer n angeben!
Die Angabe von relativen Häufigkeiten birgt eine Gefahr der Fehlinterpretation auf Grund der Nichtbeachtung der Stich­probengröße. Die Aussagekraft einer Stich­probe hängt u. a. von deren Umfang ab. Relative Häufigkeiten enthalten aber keinerlei Information dazu, wie groß die Stichprobe war. Es ist deswegen zwingend notwendig, bei der Angabe von Prozentwerten immer anzugeben, welchem Stichprobenumfang sie entsprechen.

Schritt 2


8.5  Erstellung der sigmoiden Kurve
(S%H gegen die oberen Klassengrenzen)

Der nächste Schritt zur Geraden führt zu einer sigmoiden Kurve, die dann entsteht, wenn wir auf der Ordinate statt der relativen Häufigkeiten die Summen­prozenthäufigkeiten (S%H = kumulierte relative Häufigkeiten) auftragen. Dazu müssen wir für jede Klasse die S%H ermitteln. Dies geschieht nach folgender Überlegung. In die 1. Klasse gehören 0,271 % aller Messwerte. Dies ist auch die S%H der ersten Klasse. Unter der S%H der 2. Klasse verstehen wir die Summe aller Prozenthäufigkeiten, die in die 1. und in die 2. Klasse bis zu deren oberer Grenze gehören. Das sind 0,271 % + 0,271 % = 0,542 %.

TB S4

Alle so berechneten Summenprozenthäufigkeiten sind in Spalte 3 der Tabelle 2 eingetragen.

Tabelle 2

1 2 3 1 2 3
obere
Klassen-
grenze		 relative
Häufigkeit
h (%H)		 Summen-
prozent-
häufigkeit		 obere
Klassen-
grenze		 relative
Häufigkeit
h (%H)		 Summen-
prozent-
häufigkeit
<210 0,271 0,271 <470 12,470 55,281
<230 0,271 0,542 <490 10,570 65,851
<250 0,542 1,084 <510 10,030 75,881
<270 0,000 1,084 <530 7,860 83,741
<290 1,084 2,168 <550 5,690 89,431
<310 0,813 2,981 <570 3,790 93,221
<330 1,350 4,331 <590 2,980 96,201
<350 2,710 7,041 <610 1,900 98,101
<370 2,980 10,021 <630 1,360 99,461
<390 4,880 14,901 <650 0,542 100
<410 6,230 21,131 <670 0 100
<430 10,030 31,161 <690 0 100
<450 11,650 42,811 <710 0 100

Bei der graphischen Darstellung der Summenprozenthäufigkeitskurve trägt die Ordinate die kumulierten Prozentzahlen von 0 bis 100 %. Die Abszisse trägt die Klassengrenzen. Da die untere Grenze einer Klasse mit der oberen Grenze der vorhergehenden Klasse identisch ist, entfällt bei der Skalenbeschriftung an den oberen Klassengrenzen das Zeichen „kleiner als“. Während bei den Graphiken zur absoluten und relativen Häufigkeit die Funktionswerte immer über den Klassenmitten aufgetragen werden, müssen wir die Summenprozentwerte immer über der oberen Klassengrenze auftragen, weil die Summenprozentwerte ja allen Messwerten der Klassen bis zur oberen Grenze entsprechen und nicht nur bis zu der Klassenmitte. Es entsteht die S-förmige Kurve in Abb. 7, eine sigmoide Kurve.

Abb. 7

Je symmetrischer die Glockenkurve war, um so symmetrischer ist auch die sigmoide Kurve. Unsere Kurve ist nahezu symmetrisch und weist damit auch schon auf eine Normalverteilung hin. Nur im Bereich zwischen 200 µm und 300 µm erkennen wir kleine Unregelmäßigkeiten, die sich in Abb. 6 schon andeuteten.

Schätzung des Mittelwertes und des Streubereichs an der Ogive
Innerhalb des Bereiches ±sx liegen bei einer Normalverteilung ca. 68 % aller Werte. An der Ogive können wir – Normalverteilung vorausgesetzt – durch Interpolation den Mittelwert bei 50 %, die untere einfache Streugrenze bei 16 % und die obere einfache Streugrenze bei 84 % ablesen. Da die Ogive bei 16 % und 84 % nicht linear ist, erhalten wir nur Schätzwerte.

Schritt 3


8.6  Erstellung der Geraden
(S%H an der Wahrscheinlichkeitsskala gegen die oberen Klassengrenzen)

Die Wahrscheinlichkeitsskala
Um mit den gleichen Daten, die die sigmoide Kurve lieferten, eine Gerade zu erhalten, müssen wir die Ordinatenskalierung ändern. Anstelle der metrisch geteilten Prozentskala benötigen wir die so genannte Wahrscheinlichkeitsskala, die nach dem Gaußschen Integral (wir zeigen es hier nur der Vollständigkeit halber)

geteilt ist. Die Berechnung der Skalenteilung über die Integralrechnung ist schwierig und wird daher in der Praxis nicht durchgeführt. Üblicherweise verwenden wir für die Darstellung so genanntes Wahrscheinlichkeitspapier, welches der Handel anbietet (Schleicher und Schüll).

Die Ordinate (Abb. 8) zeigt die Wahrscheinlichkeitsskala. Sie ist nicht äquidistant geteilt. Sie sehen, dass die Differenzen zweier benachbarter Zahlen nicht gleich sind (99,9 – 97,8 = 2,1; 97,8 – 84 = 13,8; 84 – 50 = 34), die den Zahlen entsprechenden Strecken aber wohl. Auch die Zwischenräume sind, wie Abb. 9 zeigt, wieder inäquidistant geteilt. Der Mittelpunkt entspricht dem Summen­prozentwert 50 %. Nach oben und unten wird die Skala symmetrisch immer stärker gespreizt, so dass 0 % und 100 % im Unendlichen liegen. Der Grund dafür liegt letztlich an dem Integral

und damit am asymptotischen Verlauf der Glockenkurve.

Abb. 8

Die Abb. 9 trägt auf der Ordinate die Wahrscheinlichkeitsskala, die Abszisse trägt die oberen Klassengrenzen, zu denen wir die entsprechenden S%H-Werte eingetragen haben. Die Punktfolge zeigt eine Tendenz zur Linearität, was auf normalverteilte Daten hinweist.

Abb. 9

Die eigentliche Prüfung auf Normalverteilung
Um der Punktfolge in Abb. 9 eine Gerade anzupassen, legen wir zunächst eine Gerade nach Augenmaß. Dabei ist zu beachten, dass die Summe der parallel zur Ordinate gemessenen Abweichungen der Punkte oberhalb der Geraden gleich der Summe unterhalb der Geraden ist und dass die Summen minimiert sind. Die folgende Abb. 10 zeigt das Prinzip.

Abb. 10

Optimal liegt die Gerade in Abb. 10 offensichtlich noch nicht, da die untere Summe größer als die obere ist. Die Anpassung der Geraden muss u. U. mehrmals nachgebessert werden. Dazu könnten wir die eingezeichnete Gerade in geeignet scheinender Weise etwas verschieben. Und dies so oft, bis die oben genannte Forderung erfüllt ist. Später, beim Thema Regression, lernen wir die Lage der Geraden zu berechnen.

Unsere Punktfolge in Abb. 9 weicht nur in unteren Bereich deutlich von der Linearität ab. Mit Hilfe einer angepassten Geraden können wir relativ schnell erkennen, dass zumindest eine approximierte Normalverteilung der Daten vorliegt. Je besser die Anpassung ist, um so eher gehen wir von einer Normalverteilung aus. Das beschriebene Verfahren ist daran gebunden, dass das handelsübliche Wahrscheinlichkeitspapier vorliegt. Wie wir selber ein Koordinatensystem erstellen können, mit dem wir diese Gerade erhalten, zeigt Schritt 4.

Schritt 4


8.7  Erstellung einer Geraden
(Probits an der Probitskala gegen die oberen Klassengrenzen)

Die Probitskala
Den gleichen Effekt, nämlich die Linearisierung der Ogive, erreichen wir, wenn wir anstelle der Wahrscheinlichkeitsskala die so genannte Probitskala anwenden. Diese hat den Vorteil, dass wir sie im Gegensatz zur Wahrscheinlichkeitsskala selber erstellen können. Es ist eine Skala, die in Wahrscheinlichkeitseinheiten (probability units = Probits) äquidistant geteilt ist. Sie beginnt in der Regel mit Probit 2 und endet mit Probit 8 wobei diese Grenzen abhängig von den Versuchsdaten sind. In der Mitte der Ordinate liegt immer Probit 5. An der Probitskala, die ja keine Prozentskala ist, können wir allerdings keine S%H eintragen. Daher müssen wir diese mit Hilfe der so genannten Probittabelle in Probits transformieren. Wir zeigen mit Tabelle 3 einen Ausschnitt aus der umfangreichen Probittabelle, die in einschlägigen Tabellenbüchern (z. B. Wissenschaftliche Tabellen Geigy) zu finden ist.

Tab. 3

Probit für Summenprozentwert
          0,271 % runden zu 0,3 % Probit 2,25
          0,542 % runden zu 0,5 % Probit 2,42
          1,084 % runden zu 1,1 % Probit 2,71

Weitere Werte müssen der Originaltabelle entnommen werden, die wir hier nicht darstellen können. Mit Hilfe der Abb.11, die der Probittabelle entspricht, können wir die Werte auch durch graphische Interpolation gewinnen. Errichten Sie die Vertikale über z. B. 40 % (S%H = 40) und projizieren Sie deren Schnittpunkt mit der Kurve horizontal auf die Ordinate. Dort finden Sie den Probitwert für 40 % nämlich 4,75 Probis. Beachten Sie, dass graphische Interpolationen je nach Größe der Graphik oft nur Näherungswerte ergeben.

Abb. 11

Die Tabelle 4 enthält bereits alle über eine Tabelle ermittelten Probits.

Tabelle 4

Klasse obere
Klassen-
grenze		 Summen-
prozent-
häufigkeit		 Probits Klasse obere
Klassen-
grenze		 Summen-
prozent-
häufigkeit		 Probits
1 <210 0,271 - 14 <470 55,281 5,13
2 <230 0,542 - 15 <490 65,851 5,41
3 <250 1,084 2,7 16 <510 75,881 5,70
4 <270 1,084 2,7 17 <530 83,741 5,98
5 <290 2,168 2,9 18 <550 89,431 6,25
6 <310 2,981 3,1 19 <570 93,221 6,49
7 <330 4,331 3,3 20 <590 96,201 6,77
8 <350 7,041 3,5 21 <610 98,101 7,04
9 <370 10,021 3,72 22 <630 99,461 7,58
10 <390 14,901 3,96 23 <650 100
11 <410 21,131 4,2 24 <670 100
12 <430 31,161 4,5 25 <690 100
13 <450 42,811 4,82 26 <710 100

Wenn alle Probits über den oberen Klassengrenzen aufgetragen sind, dann erhalten wir die gleiche Punkteschar wie bei der Wahrscheinlichkeitsskala. Die Abb.12 wurde mit einem Tabellenkalkulationssystem erstellt, welches die Lage der Geraden bereits eingefügt hat. Die Gerade ist den Punkten so gut angepasst, dass wir davon ausgehen, dass die Durchmesser von Noctiluca m. zumindest approximiert normalverteilt sind.

Abb. 12

Ob wir die Prüfung auf Normalverteilung mit der Wahrscheinlichkeitsskala oder mit der Probitskala durchführen ist einerlei. Die Punktfolgen sind identisch. Wenn wir Daten auf Normalverteilung prüfen wollen, stellen wir nicht, wie oben beschrieben, die Glockenkurve und dann die Ogive dar, sondern erstellen nach Berechnung der relativen Häufigkeiten und der Summenprozenthäufigkeiten gleich die Gerade an der Wahrscheinlichkeits- oder Probitskala und entscheiden dann.



8.8  Weitere Anwendungen der Geraden

Die Geraden haben neben ihrer Funktion bei der Prüfung auf Normalverteilung noch andere nützliche Eigenschaften.


8.8.1  Graphische Ermittlung von und sx

Mit Hilfe der Geraden können wir ohne Berechnung graphisch das arithmetische Mittel und die Standardabweichung schätzen. Nach der Probittabelle gilt:

S%H 16 % Probit 4
S%H 50 % Probit 5
S%H 84 % Probit 6

Projizieren wir Probit 5 horizontal auf die Gerade und den Schnittpunkt vertikal auf die Abszisse, so wird dort angezeigt. Projizieren wir Probit 4 auf die Gerade, so zeigt der Schnittpunkt auf der Abszisse die untere Grenze des einfachen Streubereichs an. Mit Probit 6 erhalten wir dessen obere Grenze.

Abb. 13

In der Abb. 13 finden wir für ~ 458 µm (berechnet: 460,6 µm) und für +sx ~ 535 µm, für -sx ~ 383 µm. Das entspricht einer Standardabweichung von ~76,5 µm (berechnet: 73,4 µm). Das sind schon bessere Werte als bei der Ogive.


8.8.2  Graphischer Vergleich der Streuungen mehrerer Datensätze

Beispiel 2

Nehmen wir an, uns lägen die Kornmassen (in g/L) zweier Ernten eines Saatgutes vor und wir wollten wissen, ob die Werte in den beiden Gruppen unterschiedlich stark streuen. [Rechnerisch ist das über den Variationskoeffizienten (Teil 5) prüfbar.]

Eine vergleichende Visualisierung der Streuung erreichen wir, wenn die Summenprozenthäufigkeitskurven mehrerer Gruppen in ein Probitnetz eingezeich­net werden. Der Zusammenhang zwischen der Steilheit der Geraden und der Streuung der Daten ist sofort zu erkennen. Wie Abb. 14 zeigt, ist die Gerade um so steiler, je geringer die Messwerte streuen. In Gruppe 1 (blau) ist sx = 30 g/L, in Gruppe 2 (rot) ist sx = 13 g/L. Im Beispiel sind die Mittelwerte gleich. Das ist für einen Vergleich aber nicht notwendig. Allerdings muss die Abszissenspreizung für alle Gruppen gleich sein. Durch graphische Interpolation finden wir auch schnell das jeweilige arithmetische Mittel.

Abb. 14

Beispiel 3

Im parasitologischen Praktikum haben wir bei 36 männlichen Spulwürmern (Ascaris suum) die Länge der Tiere gemessen. Die Ergebnisse in mm stehen in Tabelle 5:

Tabelle 5

213 192 168 211 246 189 201 194 201 166 129 196
176 192 199 192 141 152 217 161 221 222 182 222
194 187 179 197 212 215 232 176 198 192 214 181

Wir wollen über die Gerade im Probitnetz feststellen, ob die Längen normalverteilt sind. Dazu haben wir die Daten in fünf Gruppen mit der Breite 26 mm klassiert und nach den bekannten Verfahren die Daten in Tabelle 6 errechnet.

Tabelle 6

Gruppe Mittel-
wert		 Obere
Klassen-
grenze		 absolute
Häufigkeit		 Prozent-
häufigkeit		 Summen-
prozent-
häufigkeit		 Probits
1 133 <146 2 5,56 5,56 3,4
2 159 <172 4 11,11 16,67 4,03
3 185 <198 15 41,67 58,33 5,2
4 211 <224 13 36,11 94,44 6,59
5 237 <250 2 5,56 100

Versuchen Sie, den Punkten in Abb. 15 eine Gerade optimal anzupassen und bilden Sie sich dann eine Meinung zur Normalverteilung der Daten.

Abb. 15



Übungen

Übung 1
Im Zusammenhang mit der Untersuchung in Beispiel 3 haben wir bei 46 weiblichen Ascariden die Längen in mm gemessen. Die Messwerte liegen in der folgenden Liste vor. Prüfen Sie mit einer Geraden im Probitnetz auf Hinweise zur Normalverteilung.

275 263 248 298 283 262 269 254 266 289
262 265 269 257 309 284 262 191 316 298
262 269 266 244 303 283 291 249 274 339
237 300 299 303 284 242 231 262 248 262
292 292 271 307 286 266


Lösung zur Übung 1   Das Fenster bitte anschließend schließen!